Question

6．函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（x）＞0恒成立，若对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•g（x）．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（-1）=3，解不等式$\frac{f（{x}^{2}）•f（10）}{f（7x）}$≤9．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，f（0）=f²（0），f（x）＞0，f（0）=1；
（2）原不等式等价于f（x²）f（10）≤9f（7x ）⇒f（x²）f（10）≤f（7x）f（-2）⇒f（x²+10）≤f（7x-2）又f（x）是定义在R上的减函数，x²+10≥7x-2即可．

解答 解（1）令x=y=0，∴f（0）=f²（0），∵f（x）＞0，∴f（0）=1，…（3分）
（2）∵f（x）＞0，∴$\frac{{f（{x^2}）f（10）}}{f（7x）}≤9$，得f（x²）f（10）≤9f（7x），…（4分）
∵f（-1）=3，∴9=3×3=f（-1）f（-1）=f（-2），…（6分）
∴f（x²）f（10）≤f（7x）f（-2）可化为，f（x²+10）≤f（7x-2），…（8分）
又f（x）是定义在R上的减函数，∴x²+10≥7x-2，…（10分）
解得，x≤3，x≥4，…（11分）
即原不等式的解集为（-∞，3]∪[4，+∞）…（12分）

点评 本题考查了抽象函数的赋值法，及抽象函数不等式的解法，关键是根据单调性及定义域进行转化，属于基础题．