Question

18．如图5所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形BDFE是平行四边形，点M，N分别是BE，CF的中点．
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）若△ABE是等边三角形且平面ABE⊥平面ABCD，记三棱柱E-ABF的体积为S₁，四棱锥F-ABCD的体积为S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的值．

Answer 1

分析 （1）取DF的中点H，连接MH，NH，推导出NH∥CD．MH∥BD，从而平面MNH∥平面ABCD，由此能证明MN∥平面ABCD．
（2）推导出DF∥平面ABE，从而S₁=V_E-ABF=V_F-ABE=V_D-ABE=V_E-ABD，推导出EF∥平面ABCD，从而S₂=V_F-ABCD=V_E-ABCD=2V_E-ABD=2S₁，由此能求出结果．

解答 证明：（1）如图，取DF的中点H，连接MH，NH，
∵点N，H分别是CF，DF的中点，∴NH∥CD．
∵EBDF是平行四边形，且点M，H是BE，DF的中点，∴MH∥BD，
又MH∩NH=H，BD∩CD=D，∴平面MNH∥平面ABCD，
又∵MN?平面MNH，∴MN∥平面ABCD．
解：（2）∵DF∥BE，DF?平面ABE，BE?平面ABE，
∴DF∥平面ABE，
∴S₁=V_E-ABF=V_F-ABE=V_D-ABE=V_E-ABD，
又EF∥BD，EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，
∴S₂=V_F-ABCD=V_E-ABCD=2V_E-ABD=2S₁，
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱柱与四棱锥的体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．