Question

3．点P是椭圆$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1上的一点，F₁和F₂是焦点，且∠F₁PF₂=30°，则△F₁PF₂的面积是8-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 方法一：由椭圆的定义可知：|PF₁|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，由余弦定理：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|?|PF₂|?cos30^?=|F₁F₂|²=（2c）²=4，代入即可求得：|PF₁|?|PF₂|，根据三角形的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$|PF₁|?|PF₂|?sin30°，即可求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：方法一：由题意可知：椭圆$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1焦点在y轴上，a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
又∵P在椭圆上，则|PF₁|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，
由余弦定理得：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|?|PF₂|?cos30^?=|F₁F₂|²=（2c）²=4
解得：|PF₁|?|PF₂|=16（2-$\sqrt{3}$），
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|?|PF₂|?sin30°=8-4$\sqrt{3}$，
故答案为：8-4$\sqrt{3}$．
方法二：由题意可知：椭圆$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1焦点在y轴上，a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
由焦点三角形的面积公式可知：△F₁PF₂的面积S=b²•$\frac{sin∠{F}_{1}P{F}_{2}}{1+cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=4×$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8-4$\sqrt{3}$，
故答案为：8-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆定义，余弦定理及焦点三角形的面积公式，考查学生对公式的掌握程度，考查计算能力，属于中档题．