【题目】在如图所示的几何体中,平面ADNM⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形, ,AB=2,AM=1,E是AB的中点.
(1)求证:平面DEM⊥平面ABM;
(2)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为 ?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)证明:∵ABCD是菱形,∴AD=AB,∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,
E为AB中点,∴DE⊥AB,∴DE⊥CD,
∵ADMN是矩形,∴ND⊥AD,
又平面ADMN⊥平面ABCD,平面ADMN∩平面ABCD=AD,
∴ND⊥平面ABCD,∴ND⊥DE,
∵CD∩ND=D,∴DE⊥平面NDC,
∵DE平面MDE,∴平面MDE⊥平面NDC.
因为面ABM∥面NDC,∴平面DEM⊥平面ABM
(2)解:设存在P符合题意.
由(Ⅰ)知,DE、DC、DN两两垂直,以D为原点,建立空间直角坐标系D﹣xyz(如图),
则D(0,0,0),A( ,﹣1,0),E( ,0,0),C(0,2,0),P( ,﹣1,h)(0≤h≤1).
∴ =(0,﹣1,h), =(﹣ ,2,0),设平面PEC的法向量为 =(x,y,z),
则 令x=2h,则平面PEC的一个法向量为 =(2h, h, )
取平面ECD的法向量 =(0,0,1),
cos45°= ,解得h= ∈[0,1],
即存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为 ,此时AP= .
【解析】(1)推导出DE⊥CD,ND⊥AD,从而ND⊥DE,进而DE⊥平面NDC,由此能证明平面MAE⊥平面NDC.(2)以D为原点,建立空间直角坐标系D﹣xyz,求出平面PEC的一个法向量、平面ECD的法向量.利用向量的夹角公式,建立方程,即可得出结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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【题目】已知焦距为2的椭圆W: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为A1 , A2 , 上、下顶点分别为B1 , B2 , 点M(x0 , y0)为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点,且四条直线MA1 , MA2 , MB1 , MB2的斜率之积为 .
(1)求椭圆W的标准方程;
(2)如图所示,点A,D是椭圆W上两点,点A与点B关于原点对称,AD⊥AB,点C在x轴上,且AC与x轴垂直,求证:B,C,D三点共线.
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【题目】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从月份的天中随机挑选了天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 |
温差/℃ | |||||
发芽数/颗 |
()从这天中任选天,记发芽的种子数分别为, ,求事件“, 均不小于”的概率.
()从这天中任选天,若选取的是月日与月日的两组数据,请根据这天中的另天的数据,求出关于的线性回归方程.
()若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问()中所得的线性回归方程是否可靠?
(参考公式: .
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【题目】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1 ,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1 ,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+|2x﹣1|(a∈R).
(1)当a=﹣1时,求f(x)≤2的解集;
(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含集合 ,求实数a的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=ex﹣ax,a是常数.
(Ⅰ)若a=1,且曲线y=f(x)的切线l经过坐标原点(0,0),求该切线的方程;
(Ⅱ)讨论f(x)的零点的个数.
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【题目】已知半径为1的动圆与定圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A. (x-5)2+(y+7)2=25
B. (x-5)2+(y+7)2=3或(x-5)2+(y+7)2=15
C. (x-5)2+(y+7)2=9
D. (x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
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