Question

【题目】设函数f（x）=ex﹣ax，a是常数．
（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=ex﹣x，f′（x）=ex﹣1，
设切点坐标是（m，em﹣m），
则k=f′（m）=em﹣1，
故切线方程是：
y﹣（em﹣m）=（em﹣1）（x﹣m）
由0﹣（em﹣m）=（em﹣1）（0﹣m），得m=1，
所求切线为：y=（e﹣1）x
（Ⅱ）f′（x）=ex﹣a，当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna
情形一：a＞0时，若x＜lna，则f′（x）＜0；若x＞lna，则f′（x）＞0．
函数f（x）在区间（﹣∞，lna）单调递减，在区间（lna，+∞）单调递增，
f（x）的最小值为f（lna）=a（1﹣lna）
①0＜a＜e时，f（lna）=a（1﹣lna）＞0，f（x）无零点
②a=e时，f（lna）=a（1﹣lna）=0，f（x）只有一个零点
③a＞e时，f（lna）=a（1﹣lna）＜0，根据f（0）=1＞0与函数的单调性，
f（x）在区间（﹣∞，lna）和（lna，+∞）各有一个零点，f（x）共有两个零点
情形二：a=0时，f（x）=ex ， f（x）无零点
情形三：a＜0时，由f（x）=0得，ex=ax，
故曲线y=ex与y=ax只有一个交点，所以f（x）只有一个零点．
综上所述，0≤a＜e时，f（x）无零点；
a＜0或a=e时，f（x）有一个零点；
a＞e时，f（x）有两个零点
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，表示出切线方程，求出m的值，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论 a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．