Question

16．已知直线l：x-my+$\sqrt{3}$m=0上存在点M满足与两点A（-1，0），B（1，0）连线的斜率k_MA与k_MB之积为3，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $[{-\sqrt{6}，\sqrt{6}}]$
• B． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}}）$∪$（{\frac{{\sqrt{6}}}{6}，+∞}）$
• C． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}}]$∪$[{\frac{{\sqrt{6}}}{6}，+∞}）$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 设出M的坐标，由k_MA与k_MB之积为3得到M坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m的取值范围．

解答 解：设M（x，y），由k_MA•k_MB=3，得$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=3$，即y²=3x²-3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-my+\sqrt{3}m=0}\\{{y}^{2}=3{x}^{2}-3}\end{array}\right.$，得$（\frac{1}{{m}^{2}}-3）{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{m}x+6=0$．
要使直线l：x-my+$\sqrt{3}$m=0上存在点M满足与两点A（-1，0），B（1，0）连线的斜率k_MA与k_MB之积为3，
则△=$（\frac{2\sqrt{3}}{m}）^{2}-24（\frac{1}{{m}^{2}}-3）≥0$，即${m}^{2}≥\frac{1}{6}$．
解得m∈$（{-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}}]$∪$[{\frac{{\sqrt{6}}}{6}，+∞}）$．
∴实数m的取值范围是$（{-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}}]$∪$[{\frac{{\sqrt{6}}}{6}，+∞}）$．
故选：C．

点评 本题考查直线的斜率，考查了数学转化思想方法，训练了利用判别式法判断方程的根，是中档题．