Question

设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F₁，F₂，以F₁F₂为直径的圆交双曲线于A，B，C，D四点，则|F₁A|+|F₁B|+|F₁C|+|F₁D|=（　　）

• A、4

  3

• B、2

  3

• C、

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出双曲线方程为x²-y²=1，以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=2，联立

x2-y2=1 x2+y2=2

，解得A（-

6

2

，

2

2

），B（-

6

2

，-

2

2

），C（

6

2

，-

2

2

），D（

6

2

，

2

2

），由此能求出|F₁A|+|F₁B|+|F₁C|+|F₁D|的值．

解答： 解：∵实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F₁，F₂，
∴双曲线方程为x²-y²=1，
∴F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，
∴以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=2，
联立

x2-y2=1 x2+y2=2

，解得A（-

6

2

，

2

2

），
B（-

6

2

，-

2

2

），C（

6

2

，-

2

2

），D（

6

2

，

2

2

），
∴|F₁A|=|F₁B|=

(- 6 2 + 2 )2+(± 2 2 )2

=

4-2 3

=

3

-1，
|F₁C|=|F₁D|=

( 6 2 + 2 )2+(± 2 2 )2

=

4+2 3

=

3

+1，
∴|F₁A|+|F₁B|+|F₁C|+|F₁D|=2（

3

-1+

3

+1）=4

3

．
故选：A．

点评：本题考查双曲线方程的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．