Question

已知二次函数f （ x ）=x²+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点．
（1）求这个函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（2^x），求函数g（x）在x∈[-3，2]上的值域；
（3）若函数H（x）=f（|x|）-a（a为常数），试讨论此函数H（x）的零点个数情况，并说出相应a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）二次函数f （ x ）=x²+ax+b关于x=1对称，由此关系求出a值，且其图象经过原点，可得f （0）=0，由此求出b，即可得到函数的解析式；
（2）函数g（x）=f（2^x），是一个复合函数，可先求出t=2^x在x∈[-3，2]上的值域，再求出二次函数f （ x ）的值域；
（3）函数H（x）=f（|x|）-a（a为常数），是一个偶函数，且当x≥0时，H（x）=f （ x ），故问题转化为研究f （ x ）在x≥0时有几个零点，

解答：解：（1）二次函数f （ x ）=x²+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点
∴-

a

2

=1，b=0，即a=-2，b=0，故函数的解析式为f （ x ）=x²-2x
（2）x∈[-3，2]，则t=2^x在x∈[-3，2]上的值域是[

1

8

，4]，由f （ x ）=x²-2x的性质知，函数在x=1时取到最小值-1，在x=4时函数取到最大值8，故函数g（x）在x∈[-3，2]上的值域是[-1，8]．
（3）函数H（x）=f（|x|）-a（a为常数），是一个偶函数，且当x≥0时，H（x）=f （ x ）-a，
当a=0时，H（x）=f （ x ）=x²-2x在x≥0时有两个零点x=0，x=2，故函数H（x）有三个零点分别为x=0，x=2，x=-2
当-1＜a＜0时，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0时有两个零点，都大于0，故函数H（x）有四个零点
当a=-1时，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0时有一个正零点，故函数H（x）有两个零点
当a＜-1时，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0时没有零点，故函数H（x）没有零点
当a＞0时，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0时有一个正零点，故函数H（x）有两个零点

点评：本题考查函数的零点，解题的关键是理解函数零点的定义以及根据题设条件求出二次函数的解析式，依据对二次函数的零点的研究得出函数H（x）=f（|x|）-a（a为常数）零点的情况，由于参数a的取值范围不同，函数零点的情况不同，本题利用分类探究对函数零点的情况进行了研究．要注意总结分类的依据．本题易因为分类标准不清致错．