Question

【题目】已知F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1， ）时，△PF1F2的面积为 ，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l1 ， l2 ， l，直线l与l1 ， l2分别交于点R，T．

（1）求椭圆C的方程；
（2）（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；
（ii）求△RTM的面积最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，

P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1， ）时，△PF1F2的面积为 ，

∴ = ，解得c=1，

又∵2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，b= ，

故椭圆C的方程为 ．

（2）证明：（i）由题意直线l的斜率存在，设直线l为：y=kx+m，

联立 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，

化简，得m2=3+4k2，

R（﹣2，﹣2k+m），T（2，2k+m），

由对称性，知定点M在x轴上，

设M（x，0），M在RT为直线的圆上，∴MR⊥MT，

∴ =（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣2k+m）（2k+m）=x2﹣4+m2﹣4k2=0，

解得x=±1，

∴定点M即为左右焦点F1，F2，其坐标为（±1，0）．

解：（ii）由图形的对称性，不妨取M为右焦点F2（1，0），

点P在x轴上方，

S△RTM=S四边形ABTR﹣S△BDA=2（m+k），

令m+k=t，则m=t﹣k，代入m2=3+4k2，

得3k2+2tk+3﹣t2=0，

△=4（4t2﹣9）≥0，

∵t＞0，∴t≥ ，S△RDA≥3，

当m=2，k=﹣ 时，取等号，

故△RTM的面积的最小值为3．

【解析】（1）由当P点坐标为（1， ）时，△PF1F2的面积为 ，求出c=1，2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆C的方程．（2）（i）设直线l为：y=kx+m，与椭圆联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、椭圆对称性，向量数量积，结合已知条件能证明以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标．（ii）由图形的对称性，取M为右焦点F2（1，0），S△RTM=S四边形ABTR﹣S△BDA=2（m+k），由此能求出△RTM的面积的最小值为3．