Question

设函数f(x)＝x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c.

(1)试问函数f(x)能否在x＝－1时取得极值？说明理由；

(2)若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围．

 

Answer 1

（1）无极值（2）－＜c＜或c＝－9.

【解析】(1)由题意f′(x)＝x2－2ax－a，

假设在x＝－1时f(x)取得极值，则有f′(－1)＝(－1)2－2a(－1)－a＝0，解得a＝－1.

而此时f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，所以函数f(x)在R上为增函数，函数无极值．

这与f(x)在x＝－1处有极值矛盾，所以f(x)在x＝－1处无极值．

(2)设f(x)＝g(x)，则有x3－ax2－ax＝2x2＋4x＋c，

所以c＝x3－x2－3x.

设F(x)＝x3－x2－3x，则F′(x)＝x2－2x－3，令F′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.

当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如表所示：

x	－3	(－3，－1)	－1	(－1,3)	3	(3,4)	4
F′(x)		＋	0	－	0	＋
F(x)	－9	?	极大值	?	极小值	?	－

由表可知F(x)在[－3，－1]，[3,4]上是增函数，在[－1,3]上是减函数．

当x＝－1时，F(x)取得极大值F(－1)＝；当x＝3时，F(x)取得极小值F(3)＝－9，而F(－3)＝－9，F(4)＝－.

如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与y＝c有两个公共点，所以－＜c＜或c＝－9.