Question

3．若函数f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在（-1，1）上单调递减，则m²+n²的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{3}$，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． （3，+∞）
• D． [9，+∞）

Answer 1

分析 利用函数的导数，推出m，n的不等式组，然后利用线性规划，表达式的几何意义求解即可．

解答 解：∵f（x）=x³+mx²+nx+1，
∴f′（x）=3x²+2mx+n，
∵f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在（-1，1）上单调递减，
∴3x²+2mx+n≤0在区间（-1，1）上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-2m+n≤0}\\{3+2m+n≤0}\end{array}\right.$，不等式组表示的可行域如图阴影部分，
∴则m²+n²的几何意义是可行域内的点与原点距离的平方，显然A（0，-3）到原点距离最小，所以则m²+n²≥9．
故选：D．

点评 本题考查函数的单调性，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，线性规划的应用，属于中档题．