Question

15．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：?a＞0，?x₀∈R，使得当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．

Answer 1

分析 （1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，
（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．

解答 解：（1）若ax＞lnx恒成立，
则a＞$\frac{lnx}{x}$，在x＞0时恒成立，
设h（x）=$\frac{lnx}{x}$，
则h′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{x}$，
由h′（x）＞0得1-lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，
由h′（x）＜0得1-lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，
即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$．
即a＞$\frac{1}{e}$．
（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），
则f′（x）=$\frac{1}{x}$，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），
则切线斜率k=$\frac{1}{m}$，
则过原点且与f（x）相切的切线方程为y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m）=$\frac{1}{m}$x-1，
即y=$\frac{1}{m}$x-1+lnm，
∵g（x）=ax，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=a}\\{-1+lnm=0}\end{array}\right.$，得m=e，a=$\frac{1}{e}$．
即当a＞$\frac{1}{e}$时，ax＞lnx恒成立．
当a=$\frac{1}{e}$时，当x₀≥$\frac{1}{e}$时，
要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．
当0＜a＜$\frac{1}{e}$时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x₁，当x₀≥x₁时，
当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．
∴?a＞0，?x₀∈R，使得当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．