Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{6}$cosx（x∈R）．
（Ⅰ）若a∈[0，π]且f（a）=2，求a；
（Ⅱ）先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=$\frac{3π}{4}$对称，求θ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）有条阿金利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用f（a）=2，求得a的值．
（Ⅱ）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得θ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{6}$cosx=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵a∈[0，π]，∴a+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∵f（a）=2$\sqrt{2}$sin（a+$\frac{π}{3}$）=2，
∴sin（a+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{4}$，∴a=$\frac{5π}{12}$．
（Ⅱ）先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），
得到 y=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2$\sqrt{2}$sin（2x-2θ+$\frac{π}{3}$）的图象，
再结合得到的图象关于直线x=$\frac{3π}{4}$对称，可得$\frac{3π}{2}$-2θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
求得θ=$\frac{2π}{3}$-$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，故θ的最小值为$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查辅助角公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．