Question

10．设直线l与双曲线x²-y²=1的右支相交于M，N两点，与⊙C：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相切于点P，且P为线段MN的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$）
• B． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$）
• C． （2，$\sqrt{6}$）
• D． （2，$\sqrt{7}$）

Answer 1

分析 设直线l：y=kx+m，代入双曲线的方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），运用韦达定理和判别式大于0，以及二次的方程有两个大于1的实根，求得k²＞$\frac{4}{3}$，运用中点坐标公式，以及直线和圆相切的斜率关系，求得MN的中点P，代入圆的方程可得r的式子，再由不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：设直线l：y=kx+m，
代入双曲线的方程，可得（1-k²）x²-2kmx-m²-1=0，①
由判别式4k²m²+4（1-k²）（m²+1）＞0，
即为m²+1-k²＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{2km}{1-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}+1}{{k}^{2}-1}$＞0，
可得k²＞1，MN的中点P为（$\frac{km}{1-{k}^{2}}$，$\frac{m}{1-{k}^{2}}$），
⊙C：（x-4）²+y²=r²的圆心为（4，0），
由直线与圆相切于P，可得
$\frac{\frac{m}{1-{k}^{2}}}{\frac{mk}{1-{k}^{2}}-4}$=-$\frac{1}{k}$，化为1-k²=$\frac{1}{2}$mk，
即有MN中点坐标为（2，$\frac{2}{k}$），
代入圆的方程可得r²=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$＞4，
又①有两个大于1的根，则1-k²-2km-m²-1＞0，
即为3k²-4＞m²≥0，即有k²＞$\frac{4}{3}$，
综上可得k²＞$\frac{4}{3}$，
即有r²=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$＜4+3=7，
则有4＜r²＜7，即2＜r＜$\sqrt{7}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和运用，考查直线方程和双曲线的方程联立，运用判别式和韦达定理，以及中点坐标公式，考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．