Question

17．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，a=2$\sqrt{3}$，若b∈[1，3]，则c的最小值为3．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，结合余弦定理，可得3cosC=$\sqrt{3}$sinC，从而可求tanC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，从而可求c²=b²-2$\sqrt{3}$b-12=（b-$\sqrt{3}$）²+9，结合范围b∈[1，3]，利用二次函数的图象和性质即可解得c的最小值．

解答 解：∵$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴由正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，整理可得：a²+b²-c²=$\frac{2\sqrt{3}absinC}{3}$，
又∵由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，
∴2abcosC=$\frac{2\sqrt{3}absinC}{3}$，整理可得：3cosC=$\sqrt{3}$sinC，
∴解得：tanC=$\sqrt{3}$，cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{1}{2}$，
∴c²=b²-2$\sqrt{3}$b-12=（b-$\sqrt{3}$）²+9，
∵b∈[1，3]，
∴当b=$\sqrt{3}$时，c取最小值为3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二次函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．