Question

19．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见表．规定：A．B．C三级为合格等级，D为不合格等级．

百分制	85以及以上	70分到84分	60分到69分	60分以下
等级	A	B	C	D

为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．
（I）求n和频率分布直方图中的x，y的值；并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；
（Ⅱ）在选取的样本中，从A、D两个等级的学生中随机抽取了2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知先求出样本容量n，由此能求出频率分布直方图中的x，y的值，估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率．
（Ⅱ）法一：由茎叶图知，A等级学生共有3名，D等级学生共有5名，由此能求出至少有一名学生是A等级的概率．
法二：由茎叶图知，A等级学生共有3名，设为A，B，C，D等级学生共有0.1×50=5名，设为a，b，c，d，e，利用列举法能求出至少有一名学生是A等级的概率．

解答 解：（Ⅰ）由题意知样本容量n=$\frac{6}{0.012×10}$=50，
x=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
y=$\frac{1-0.04-0.1-0.12-0.56}{10}$=0.018，
∴成绩是合格等级人数为：（1-0.1）×50=45，
抽取的50人中成绩是合格等级的频率为$\frac{9}{10}$，
依据样本总体的思想，
∴该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是$\frac{9}{10}$．
（Ⅱ）（解法一）由茎叶图知，A等级学生共有3名，D等级学生共有0.1×50=5名，
从8名学生中任取2名学生，基本事件总数n=${C}_{8}^{2}$=28，
至少有一名学生是A等级的对立事件是两名学生都是D等级，
∴至少有一名学生是A等级的概率P=1-$\frac{{C}_{5}^{2}}{28}$=$\frac{9}{14}$．
（Ⅱ）（解法二）由茎叶图知，A等级学生共有3名，设为A，B，C，
D等级学生共有0.1×50=5名，设为a，b，c，d，e，
从8名学生中任取2名学生，基本事件有：
AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，Ca，
Cb，Cc，Cd，Ce，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有28个，
至少有一名学生是A等级的对立事件是两名学生都是D等级，
两名学生都是D等级包含的基本事件有：
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10个，
∴至少有一名学生是A等级的概率P=1-$\frac{10}{28}$=$\frac{9}{14}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．