Question

【题目】已知分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，分别是椭圆的上、下顶点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）过作直线与交于两点，求三角形面积的最大值（是坐标原点）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）根据离心率为，，列出关于 、 、的方程组，结合性质 ，求出 、 、，即可得椭圆的方程；（2）直线斜率存在，设其方程为.，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式将角形面积用 表示，利用基本不等式 即可得结果.

试题解析：（1）由题知，，，，

∴，∴，①

∵，∴，∴，②

①②联立解得，，∴椭圆的方程为．

（2）设，，显然直线斜率存在，设其方程为，

代入，整理得，

则，即，，，

，

所以到的距离，

所以三角形面积 ，

设，所以，

当且仅当，即，即，即时取等号，

所以面积的最大值为．

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.