Question

16、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；  ②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角   ④AB与CD所成的角为60°；其中正确结论是

①②④

（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论．

解答：解：作出如图的图象，其中A-BD-C=90°，E是BD的中点，可以证明出∠AED=90°即为此直二面角的平面角
对于命题①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；
对于命题②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；
对于命题③AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE=45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；
对于命题④可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60°；
综上知①②④是正确的
故答案为①②④

点评：本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．