Question

12．已知幂函数f（x）=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的图象关于（0，0）中心对称，且在（0，+∞）上函数值随x的增大而减少，则：
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下求满足${（a+1）}^{-\frac{m}{3}}$＜${（3-2a）}^{-\frac{m}{3}}$的a的取值范围；
（3）设g（x）=$\frac{1}{x•f（x）}$+$\frac{8b}{{x}^{2}•f（x）}$，其中4≤x≤16，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）幂函数f（x）=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）在（0，+∞）上函数值随x的增大而减少，解得-1＜m＜3，由m∈N^*，得m的可能取值为1，2，由其图象关于（0，0）中心对称，求出m=2，从而求出函数f（x）的解析式．
（2）由已知得$（a+1）^{-\frac{2}{3}}$＜$（3-2a）^{-\frac{2}{3}}$，再由y=x^-3在（-∞，0），（0，+∞）上均递减，能求出a的取值范围．
（3）由已知得g（x）=（x+4b）²-16b²，由此根据b的取值范围进行分类讨论，能求出g（x）的最小值．

解答 解：（1）∵幂函数f（x）=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的图象关于（0，0）中心对称，且在（0，+∞）上函数值随x的增大而减少，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m-3是奇数}\\{{m}^{2}-2m-3＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜m＜3，
∵m∈N^*，∴m的可能取值为1，2，
当m=1时，m²-2m-3=1-2-3=-4，不成立；
当m=2时，m²-2m-3=-3，成立，∴m=2，
∴f（x）=x^-3．
（2）∵m=2，${（a+1）}^{-\frac{m}{3}}$＜${（3-2a）}^{-\frac{m}{3}}$，
∴$（a+1）^{-\frac{2}{3}}$＜$（3-2a）^{-\frac{2}{3}}$，
∵y=x^-3在（-∞，0），（0，+∞）上均递减，
∴a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得$\frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2}$或a＜-1（不成立）．
∴a的取值范围是（$\frac{2}{3}，\frac{3}{2}$）．
（3）g（x）=$\frac{1}{x•f（x）}$+$\frac{8b}{{x}^{2}•f（x）}$=$\frac{1}{{x}^{-2}}$+$\frac{8b}{{x}^{-1}}$=x²+8bx=（x+4b）²-16b²，
∵4≤x≤16，
∴当-4b≤4，即b≥-1时，$g（x）_{min}=g（4）=（4+4b）^{2}-16{b}^{2}$=16b+16；
当4＜-4b＜16，即-4＜b＜-1时，g（x）_min=g（-4b）=-16b²；
当-4b≥16，即b≤-4时，g（x）_min=（16+4b）²-16b²=64b+256．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的最小值的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．