Question

6．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$．
（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）当函数f（x）为奇函数时，求函数f（x）在[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在R上为增函数．
（2）利用f（0）=0求得a的值，再根据f（x）在[-1，2]是单调递增的，从而求得函数f（x）在[-1，2]上的值域．

解答 解：（1）对于函数f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-a+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{（{1+2}^{{x}_{2}}）（1{+2}^{{x}_{1}}）}$，
因为x₁＜x₂，所以${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，而分母（1+${2}^{{x}_{1}}$）•（1+${2}^{{x}_{2}}$）＞0，故f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以函数f（x）在R上为增函数．
（2）因函数f（x）在x=0有意义，又函数f（x）为奇函数，则f（0）=a-$\frac{1}{2}$=0，∴a=$\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
由（1）可知f（x）在[-1，2]是单调递增的，易得$f{（x）_{min}}=f（-1）=-\frac{1}{6}$，$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{3}{10}$，
即f（x）的值域是$[-\frac{1}{6}，\frac{3}{10}]$．

点评 本题主要考查函数的单调性的证明方法，利用单调性求函数的最值，属于中档题．