Question

15．已知点A（0，1），点P在双曲线$C：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$上．
（1）当|PA|最小时，求点P的坐标；
（2）过A点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M、N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为$2\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出P的坐标，得到|PA|，结合双曲线方程转化为关于y的函数，利用配方法求得|PA|的最小值，并求得点P的坐标；
（2）由题意设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程，由三角形面积列式求得直线的斜率，则答案可求．

解答 解：（1）设P（x，y），则|PA|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}=\sqrt{2+2{y}^{2}+（y-1）^{2}}=\sqrt{3（y-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{8}{3}}$．
当y=$\frac{1}{3}$时，|PA|最小，
故所求点P的坐标为（$±\frac{2\sqrt{5}}{3}，\frac{1}{3}$）；
（2）由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y=kx+1，
与双曲线方程联立得（1-2k²）x²-4kx-4=0．
则△=16（1-k²）＞0且$\frac{-4}{1-2{k}^{2}}＜0$，解得${k}^{2}＜\frac{1}{2}$．
∴${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}•1•|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{16（1-{k}^{2}）}}{1-2{k}^{2}}=2\sqrt{3}$，
解得：${k}^{2}=\frac{1}{4}$或${k}^{2}=\frac{2}{3}$（舍）．
∴l的方程为y=$±\frac{1}{2}x+1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．