Question

16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线x=1对称，且f（x）=x（0＜x≤1），则当x∈（5，7]时，y=f（x）的解析式是（　　）

• A． f（x）=2-x
• B． f（x）=x-4
• C． f（x）=6-x
• D． f（x）=x-8

Answer 1

分析 由已知求得函数的周期，再由对称性求出x∈（1，3]时的解析式，进一步由周期性求得函数在x∈（5，7]时的解析式．

解答 解：由已知得f（-x）=-f（x），f（1-x）=f（1+x），
则f（1-1-x）=f（1+1+x），即f（2+x）=f（-x）=-f（x），
∴f（2+2+x）=-f（2+x）=-[-f（x）]=f（x）．
∴f（4+x）=f（x）．
可知函数f（x）的周期为4，
又f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x（0＜x≤1），
∴当x∈[-1，1]时，f（x）=x．
设x∈（1，3]，则2-x∈[-1，1），∴f（x）=f（2-x）=2-x，
则当x∈（5，7]时，x-4∈（1，3]，f（x）=f（x-4）=2-（x-4）=6-x．
故选：C．

点评 本题考查与抽象函数有关的函数解析式的求法，考查了函数的周期性和对称性，是中档题．