Question

【题目】已知函数．

（I）求曲线在点处的切线方程．

（Ⅱ）若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）4x﹣y﹣18＝0（Ⅱ）y＝13x，切点为（﹣2，﹣26）

【解析】

（Ⅰ）求得函数的导数3x2+1，求得在点切线的斜率和切点的坐标，即可求解切线的方程；

（Ⅱ）设切点为（m，n），求得切线的斜率为1+3m2，根据切线过原点，列出方程，求得的值，进而可求得切线的方程.

（Ⅰ）由题意，函数f（x）＝x3+x﹣16的导数为3x2+1，得，

即曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为4，且切点为（1，﹣14），

所以切线方程为y+14＝4（x﹣1），即为4x﹣y﹣18＝0；

（Ⅱ）设切点为（m，n），可得切线的斜率为1+3m2，

又切线过原点，可得1+3m2，解得m＝﹣2，

即切点为（﹣2，﹣26），所以切线方程为y+26＝13（x+2），即y＝13x．