【题目】已知定义在R上的函数f(x)= (a∈R)是奇函数,函数g(x)= 的定义域为(﹣2,+∞).
(1)求a的值;
(2)若g(x)= 在(﹣2,+∞)上单调递减,根据单调性的定义求实数m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(﹣1,1)上有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴ =﹣ ,得a=0
(2)解:∵ 在(﹣2,+∞)上单调递减,
∴任给实数x1,x2,当﹣2<x1<x2时,g(x1)>g(x2),
∴
∴m<0
(3)解:由(1)得f(x)= ,令h(x)=0,即 .
化简得x(mx2+x+m+2)=0.
∴x=0或 mx2+x+m+2=0
若0是方程mx2+x+m+2=0的根,则m=﹣2,
此时方程mx2+x+m+2=0的另一根为 ,符合题意
若0不是方程mx2+x+m+2=0的根,
则函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(﹣1,1)上有且仅有两个不同的零点
等价于方程mx2+x+m+2=0(※)在区间(﹣1,1)上有且仅有一个非零的实根
①当△=12﹣4m(m+2)=0时,得 .
若 ,则方程(※)的根为 ,符合题意;
若 ,则与(2)条件下m<0矛盾,不符合题意.
∴
③当△>0时,令ω(x)=mx2+x+m+2
由 ,得 ,
解得
综上所述,所求实数m的取值范围是
【解析】(1)根据函数f(x)是奇函数,求出a=0即可;(2)根据函数g(x)在(﹣2,+∞)上单调递减,得到g(x1)﹣g(x2)>0,从而求出m的范围即可;(3)问题转化为x=0或 mx2+x+m+2=0,通过讨论m的范围结合二次函数的性质求出m的范围即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较.
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【题目】甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为3万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)= ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本);
(2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?
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【题目】已知函数f(x)=( )x , g(x)=x2 , 对于不相等的实数x1 , x2 , 设m= ,n= ,则下列说法正确的有( )
①对于任意不相等的实数x1 , x2 , 都有m<0;
②对于任意不相等的实数x1 , x2 , 都有n<0;
③存在不相等的实数x1 , x2 , 使得m=n.
A.①
B.①③
C.②③
D.①②③
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【题目】已知集合A=[2,log2t],集合B={x|y= },
(1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为b﹣a,若A的区间“长度”为3,试求实数t的值.
(2)若AB,试求实数t的取值范围.
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【题目】某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸,得结果如下表:
甲厂:
分组 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
频数 | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
乙厂:
分组 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
频数 | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(2)由以上统计数据填下面列联表,并问是否有的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
甲 厂 | 乙 厂 | 合计 | |
优质品 | |||
非优质品 | |||
合计 |
附:
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