Question

【题目】已知函数 是奇函数
（1）求常数a的值
（2）判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 是奇函数，

∴定义域是{x|x≠0}，f（1）+f（﹣1）=0，

则 ，

解得a=

（2）解：由（1）得， ，

则f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上都是减函数，

证明如下：任取0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣（ ）

= = ，

∵x1，x2∈（0，+∞），∴ ＞0， ＞0，

又x1＜x2，则 ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当x1，x2∈（﹣∞，0）时，同理可证f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，

综上知，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上都是减函数

【解析】（1）由函数解析式求出定义域，由奇函数的性质得f（1）+f（﹣1）=0，代入列出方程求出a的值；（2）由指数函数的单调性先判断，利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论证明．
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．