Question

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$，b=2，则a+$\frac{4}{a}$的最小值为4．

Answer 1

分析 根据题意和三角形的面积求出a的表达式，根据正弦函数的性质求出a的范围，利用基本不等式求出a+$\frac{4}{a}$的最小值．

解答 解：由题意知，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$，b=2，
∴$\frac{1}{2}absinA=\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{2}$，则$sinA=\frac{\sqrt{3}}{12}a$，
∵0＜A＜π，∴$0＜\frac{\sqrt{3}}{12}a≤1$，解得0＜a≤4$\sqrt{3}$，
∴a+$\frac{4}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=4，当且仅当$a=\frac{4}{a}$，即a=2时取等号，
∴a+$\frac{4}{a}$的最小值为4，
故答案为：4．

点评 本题考查基本不等式求最值问题，正弦函数的性质，以及三角形的面积公式，属于中档题．