【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)当时,若存在实数
使得不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(I)见解析;(II).
【解析】试题分析:(1)对函数求导,对
分情况讨论,从单调性得出是否有极值,且求出极值;(2)当
时,由(1)知
有极小值
,只有当
时才符合题意,所以
,求出函数
在
处的切线方程
,证明
,得出
。
试题解析:(1)由题意得,
,∴
,
①当时,则
,此时
无极值;
②当时,令
,则
;令
,则
;
∴在
上递减,在
∴有极小值
,无极大值;
(2)当时,由(1)知,
在
上递减,在
上递增,且有极小值
.
①当时,
,∴
,
此时,不存在实数,
,使得不等式
恒成立;
②当时,
,
在
处的切线方程为
,
令,
,
则,
,
令
,
,
则,令
,则
;令
,则
;
∴
,∴
,
∴,
当,
时,不等式
恒成立,
∴符合题意. 由①,②得实数
的取值范围为
.
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【题目】已知函数,
,(
为常数)
(1)若在
处的切线方程为
(
为常数),求
的值;
(2)设函数的导函数为
,若存在唯一的实数
,使得
与
同时成立,求实数
的取值范围;
(3)令,若函数
存在极值,且所有极值之和大于
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某教师有相同的语文参考书3本,相同的数学参考书4本,从中取出4本赠送给4位学生,每位学生1本,则不同的赠送方法共有( )
A. 15种 B. 20种 C. 48种 D. 60种
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【题目】在一次抽样调查中测得样本的6组数据,得到一个变量关于
的回归方程模型,其对应的数值如下表:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
(1)请用相关系数加以说明
与
之间存在线性相关关系(当
时,说明
与
之间具有线性相关关系);
(2)根据(1)的判断结果,建立关于
的回归方程并预测当
时,对应的
值为多少(
精确到
).
附参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
,相关系数
公式为:
.
参考数据:
,
,
,
.
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【题目】某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为,求事件“
均小于25”的概率;
(2)请根据3月2日至3月4日的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)所得的线性回归方程是否可靠?
(参考公式:回归直线方程为,其中
,
)
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【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)设,
是曲线
图象上的两个相异的点,若直线
的斜率
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设函数有两个极值点
,
,且
,若
恒成立,求实数
的取值范围.
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