【题目】如图,在三棱台ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AB=2A1B1=2CC1 , M,N分别为AC,BC的中点.
(1)求证:AB1∥平面C1MN;
(2)若AB⊥BC且AB=BC,求二面角C﹣MC1﹣N的大小.
【答案】
(1)证明:连接B1N,B1C,
设B1C与NC1交于点G,在三棱台ABC﹣A1B1C1中,
AB=2A1B1,则BC=2B1C1,
而N是BC的中点,B1C1∥BC,
则B1C1 NC,所以四边形B1C1CN是平行四边形,G是B1C的中点,
在△AB1C中,M是AC的中点,则MG∥AB1,
又AB1平面C1MN,MG平面C1MN,
所以AB1∥平面C1MN
(2)解:由CC1⊥平面ABC,可得A1M⊥平面ABC,
而AB⊥BC,AB=BC,则MB⊥AC,
所以MA,MB,MA1两两垂直,
故以点M为坐标原点,MA,MB,MA1所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=2,则A1B1=CC1=1,AC=2 ,AM=
,
B(0, ,0),C(﹣
,0,0),C1(﹣
,0,1),N(﹣
,
,0),
则平面ACC1A1的一个法向量为 =(0,1,0),
设平面C1MN的法向量为 =(x,y,z),
则 ,
取x=1,则 =(1,1,
),
cos< >=
,
由图形得得二面角C﹣MC1﹣N为锐角,
所以二面角C﹣MC1﹣N的大小为60°.
【解析】(1)连接B1N,B1C,设B1C与NC1交于点G,推导出四边形B1C1CN是平行四边形,从而MG∥AB1 , 由此能证明AB1∥平面C1MN.(2)以点M为坐标原点,MA,MB,MA1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C﹣MC1﹣N的大小.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行即可以解答此题.
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【题目】如图甲所示,放在水平地面上的物体,受到方向不变的水平推力F的作用,F的大小与时间t的关系和物体运动速度v与时间t的关系如图乙所示.下列判断正确的是:
A.t=3s时,物体受到力的合力为零
B.t=6s时,将F撤掉,物体立刻静止
C.2s~4s内物体所受摩擦力逐渐增大
D.t=1s时,物体所受摩擦力是1N
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【题目】某种商品在天内每件的销售价格
(元)与时间
(
)(天)的函数关系满足函数
,该商品在
天内日销售量
(件)与时间
(
)(天)之间满足一次函数关系如下表:
第 | ||||
|
(1)根据表中提供的数据,确定日销售量与时间
的一次函数关系式;
(2)求该商品的日销售金额的最大值并指出日销售金额最大的一天是天中的第几天,(日销售金额
每件的销售价格
日销售量)
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【题目】计算机在数据处理时使用的是二进制,例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100.下面是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图,则判断框内应填入的条件是( )
A.i>4
B.i≤4
C.i>5
D.i≤5
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【题目】(题文)在平面直角坐标系中,椭圆
的长轴长
,短轴长
.
(1)求椭圆的方程;
(2)记椭圆的左右顶点,分别过
作
轴的垂线交直线
于点
,
为 椭圆上位于
轴上方的动点,直线
,
分别交直线
于点
,
.
(i)当直线的斜率为2时,求
的面积;
(ii)求的最小值.
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【题目】已知等差数列{an},等比数列{bn}满足:a1=b1=1,a2=b2,2a3-b3=1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.
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