Question

5．设函数f（x）=xⁿ-mlnx-1，其中n∈N^*，n≥2，m≠0．
（1）当n=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当m=1时，讨论函数f（x）的零点情况．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，得到f（x）的单调性，求出f（x）的最小值，通过构造函数结合零点存在性定理判断函数的零点即可．

解答 解：（1）依题意得，f（x）=x²-mlnx-1，x∈（0，+∞），
∴$f'（x）=2x-\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-m}}{x}$，
当m＜0时，f'（x）＞0，
函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；
当m＞0时，令f'（x）＞0，得$x＞\frac{{\sqrt{2m}}}{2}$；令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{{\sqrt{2m}}}{2}$，
则函数f（x）在区间$（{0，\frac{{\sqrt{2m}}}{2}}）$内单调递减；在区间$（{\frac{{\sqrt{2m}}}{2}，+∞}）$内单调递增．
（2）依题意得，f（x）=xⁿ-lnx-1，x∈（0，+∞），
∴$f'（x）=n{x^{n-1}}-\frac{1}{x}=\frac{{n{x^n}-1}}{x}$，
令f'（x₀）=0得$n{x_0}^n-1=0，{x_0}=\root{n}{{\frac{1}{n}}}$，
因为n≥2，所以函数f（x）在区间（0，x₀）内单调递减；在区间（x₀，+∞）内单调递增，
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=\frac{1}{n}-ln\root{n}{{\frac{1}{n}}}-1=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}lnn-1=\frac{1}{n}（{1+lnn-n}）$，
令p（x）=lnx-x+1（x≥2），则$p'（x）=\frac{1}{x}-1＜0$，
∴p（x）≤p（2）=ln2-1＜0，∴lnn-n+1＜0，即f（x₀）＜0，
∵${x_0}=\root{n}{{\frac{1}{n}}}＜1＜2$，∴f（2）＞f（1）=0，
又∵${x_0}=\root{n}{{\frac{1}{n}}}＞\frac{1}{n}＞\frac{1}{ne}$，∴$（{\frac{1}{ne}}）={（{\frac{1}{ne}}）^n}-ln\frac{1}{ne}-1={（{\frac{1}{ne}}）^n}+lnn＞0$，
根据零点存在性定理知，函数f（x）在$（{0，\root{n}{{\frac{1}{n}}}}）$和$（{\root{n}{{\frac{1}{n}}}，+∞}）$内各有一个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及零点存在性定理，是一道中档题．