Question

15．为了解学生寒假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表：

本数 人数 性别	0	1	2	3	4	5
男生	0	1	4	3	2	2
女生	0	0	1	3	3	1

（I）分别计算男生、女生阅读名著本数的平均值x₁，x₂和方差$s_1^2$，$s_2^2$；
（II）从阅读4本名著的学生中选两名学生在全校交流读后心得，求选出的两名学生恰好是一男一女的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式分别求出男生、女生阅读名著本数的平均数与方差即可；（Ⅱ）利用列举法计算基本事件数，即可求出对应的概率值．

解答 解：（Ⅰ）全班有12个男生8个女生，
∴男生阅读名著本数的平均值x₁=$\frac{1×1+4×2+3×3+2×4+2×5}{12}$=3，
女生阅读名著本数的平均值x₂=$\frac{1×2+3×3+3×4+1×5}{8}$=3.5，
∴$s_1^2=\frac{{1×{{（{1-3}）}^2}+4×{{（{2-3}）}^2}+3×{{（{3-3}）}^2}+2×{{（{4-3}）}^2}+2×{{（{5-3}）}^2}}}{12}=1.5$，
$s_2^2=\frac{{1×{{（{2-\frac{7}{2}}）}^2}+3×{{（{3-\frac{7}{2}}）}^2}+3×{{（{4-\frac{7}{2}}）}^2}+1×{{（{5-\frac{7}{2}}）}^2}}}{8}=3$；
（II）阅读4本名著的学生共有5人，其中两名男生，三名女生，
设两名男生分别为 A₁，A₂，三名女生分别为 B₁，B₂，B₃，
从这5人中任选两人的选法有：
A₁ A₂，A₁ B₁，A₁ B₂，A₁ B₃，A₂ B₁，
A₂ B₂，A₂ B₃，B₁ B₂，B₁ B₃，B₂ B₃共10种，
其中一男一女的选法有：
A₁ B₁，A₁ B₂，A₁ B₃，A₂ B₁，A₂ B₂，A₂ B₃共6种，
所以从这5人中选出的两人是一男一女的概率为$\frac{6}{10}=0.6$．

点评 本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题．