Question

5．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B=60°，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，那么b=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a²+c²=4b²-2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a²+c²=4b²-2ac．代入余弦定理求得b的值．

解答 解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，平方得a²+c²=4b²-2ac①．
又∵△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且∠B=60°，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得ac=2②，
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，把①②整体代入可得，$\frac{4{b}^{2}-4-{b}^{2}}{4}=\frac{1}{2}$，解得b²=2，
∴b=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了解三角形的问题．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识，考查了转化思想的运用，属于中档题．