Question

已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为2，G为AF的中点．
（1）求证：F₁G∥平面BB₁E₁E；
（2）求证：平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（3）求四面体EGFF₁的体积．

Answer 1

（1）证明：因为AF∥BE，AF?平面BB₁E₁E，
所以AF∥平面BB₁E₁E，（2分）
同理可证，AA₁∥平面BB₁E₁E，（3分）
所以，平面AA₁F₁F∥平面BB₁E₁E（4分）
又F₁G?平面AA₁F₁F，所以F₁G∥平面BB₁E₁E（5分）
（2）因为底面ABCDEF是正六边形，所以AE⊥ED，（7分）
又E₁E⊥底面ABCDEF，所以E₁E⊥AE，
因为E₁E∩ED=E，所以AE⊥平面DD₁E₁E，（9分）
又AE?平面F₁AE，所以平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁（10分）
（3）∵F₁F⊥底面FGE，
VE-GFF1=VF1-GFE=

1

3

S△GEF•FF1=

1

3

×

1

2

×1×2sin120o×2=

3

3