精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,且PA⊥面ABCD,PA=AB,E为PD的中点.
(1)求证:直线PB面ACE
(2)求证:直线AE⊥面PCD
(3)求直线AC与平面PCD所成角的大小.
(1)连接BD交AC于点O,连接OE
易知:O为BD的中点
而E为PD的中点
∴OEPB
又PB不在平面ACE内,OE在平面ACE内
∴PB平面ACE…(4分)
(2)证明:∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
又正方形ABCD
∴CD⊥AD
∴CD⊥面PAD故:CD⊥AE
∵在直角三角形PAD中,PA=AB=AD,E为PD的中点∴AE⊥PD
∴AE⊥面PCD…(8分)
(3)由(2)知:AC在面PCD内的射影为CE
故直线AC与平面PCD所成角为∠ACE…(10分)
由于PA=AB=AD=2,在直角三角形ACF中,易知:AE=
2
,AC=2
2

∴sin∠ACE=
AE
AC
=
1
2
∴∠ACE=30°
即:直线AC与平面PCD所成角的大小为30°…(12分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA⊥PD,E,F分别为PC,BD的中点.证明
(1)EF平面PAD;
(2)EF⊥平面PDC.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别AB,BC,CD,AD的中点,求证:EH平面BCD.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

三棱锥P-ABC,底面ABC为边长为2
3
的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D为AP上一点,AD=2DP,O为底面三角形中心.
(Ⅰ)求证DO面PBC;
(Ⅱ)求证:BD⊥AC;
(Ⅲ)求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,M在四边形EFGH上及其内部运动,若MN平面A1BD,则点M轨迹的长度是______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的所有棱长均为2,G为AF的中点.
(1)求证:F1G平面BB1E1E;
(2)求证:平面F1AE⊥平面DEE1D1
(3)求四面体EGFF1的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CEDF,∠DEF=90°.
(Ⅰ)求证:BE平面ADF;
(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB=
3
,EF=2
3
,则另一边BC的长为何值时,三棱锥F-BDE的体积为
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB、PB的中点.
(1)求证:DE平面PAC;
(2)求证:AB⊥PB.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图(1)在正方形SG1G2G3中,E、F分别是边G1G2、G2G3的中点,沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图(2),使G1,G2,G3三点重合于G,下面结论成立的是(  )
A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.DG⊥平面SEF

查看答案和解析>>

同步练习册答案