Question

设函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若f（x）＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用零点分段法，我们可将函数f（x）=|x-1|+|x-2|化为分段函数的形式，根据分段函数分段处理的原则，我们分类讨论解答f（x）＞3，最后综合讨论结果，即可得到不等式的解集．
（2）若f（x）＞a对x∈R恒成立，则a＜f（x）的最小值，根据（1）中分段函数的解析式，求出函数f（x）的最小值，即可得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=|x=1|+|x-2|=

3-2x，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

∴当x＜1时，3-2x＞3，解得x＜0；
当1≤x≤2时，f（x）＞3无解
当x＞2时2x-3＞3，解得x＜3．
综上，x＜0或x＞3，
∴不等式f（x）＞3的解集为（-∞，0）∪（3，+∞）（4分）
（2）∵f(x)=

3-2x，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

∴f（x）_min=1
∵f（x）＞a恒成立
∴a＜1，即实数a的取值范围是（-∞，1）（7分）

点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，其中利用零点分段法，将函数的解析式化为分段函数的形式，再根据分段函数分段处理的原则，进行解答是本题的关键．