Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段|AB|=8，则p=

 

；过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（A在y轴左侧），则

|AF|

|FB|

=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x₁+x₂．再利用弦长公式|AB|=x₁+x₂+p，即可得到p；

解答： 解：抛物线y²=2px的焦点F（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

∴直线AB的方程为y=x-

p

2

，
代入y²=2px可得x²-3px+

p2

4

=0
∴x_A+x_B=3p，
由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x_A+x_B+p=4p=8
∴p=2；
设直线l的方程为：x=

3

（y-

p

2

），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入抛物线方程，消去x可得12y²-20py+3p²=0，
解方程得y₁=

p

6

，y₂=

3p

2

由抛物线的性质知，

|AF|

|FB|

=

y1+ p 2

y2+ p 2

=

1

3

．
故答案为：2，

1

3

．

点评：本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．