Question

14．设F₁和F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F₁，F₂，P（0，-2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由已知得c²+4b²=4c²，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：∵F₁和F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，
F₁，F₂，P（0，-2b）是正三角形的三个顶点，
∴c²+4b²=4c²，解得c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}b$，
∴a²=c²-b²=$\frac{4}{3}{b}^{2}-{b}^{2}$=$\frac{1}{3}{b}^{2}$，即a=$\frac{\sqrt{3}}{3}b$，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}b}{\frac{\sqrt{3}}{3}b}$=2．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．