Question

【题目】过抛物线上一点作直线交抛物线E于另一点N.

（1）若直线MN的斜率为1，求线段的长.

（2）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）有，定点．

【解析】

（1）将点代入抛物线方程求出，可得抛物线方程，求出直线的方程，将直线与抛物线联立求出交点，从而利用两点间的距离公式即可求解.

（2）设出直线AB的方程：，将直线与抛物线联立消，利用，可得，设，利用韦达定理，结合，利用向量数量积的坐标运算整理可得，从而可得，代入直线方程即可求解.

（1）把代入中，得

直线的方程：，

即：与联立

得：，

∴，；∴

∴．

（2）设直线AB的方程为：与联立，

得：，

设，

，即

，

∵，∴

∴

整理得：

代入得：

即

∴（舍去），（符合）

∴直线

∴

即动直线AB经过定点．