Question

【题目】设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为，.

（1）求和的通项公式;

（2）设数列的通项公式.

（i）求数列的前项和；

（ii）求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）（i）；（ii）

【解析】

（1）因为，是和的等比中项，根据等比中项可求得，再根据等差数列的通项公式求出，利用与的关系，证出是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项公式；

（2）根据（1）中和的通项公式，列出数列的通项公式，利用分组求和法，分成奇数组和偶数组，即可求出数列的前项和；

将分为奇数和偶数两种情况，当为奇数时，设，运用裂项相消法化简求出结果；当为偶数时，设，运用错位相减法求出结果；分别求解出后，相加求得的值即可．

（1）解：设等差数列的公差为，

因为，是和的等比中项，

所以，即，

解得，因为是各项均为正数的等差数列，

所以，

故，

因为，所以，

两式相减得：，

当时，，，

是以2为首项，2为公比的等比数列，

.

（2）（i）解：，

所以

.

（ii）解：当为奇数时，

设

，

当为偶数时，

设，

，

所以，

故，

所以.