Question

【题目】如图，已知点是轴下方（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、满足，，其中为常数，且、两点均在上，弦的中点为．

（1）若点坐标为，时，求弦所在的直线方程；

（2）在（1）的条件下，如果过点的直线与抛物线只有一个交点，过点的直线与抛物线也只有一个交点，求证：若和的斜率都存在，则与的交点在直线上；

（3）若直线交抛物线于点，求证：线段与的比为定值，并求出该定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）证明详见解析，定值为．

【解析】

（1）设，，得到和，即得的坐标，即得弦所在的直线方程；

（2）先求出，，再求出交点，即得证；

（3）先求出直线的方程为，得到，，即得线段与的比.

（1）设，，由，，

可得，，

由点在上可得：，化简得：，同理可得：

，

∵、两点不同，不妨设，，

∴弦所在的直线方程为．

（2）由（1）可知，，，设，

与联立，并令，可得，同理的斜率，

∴，，

解方程组得交点，而直线的方程为，得证．

（3）设，，，由，得，

代入，化简得：，

同理可得：，

显然，∴、是方程的两个不同的根，

∴，，

∴，即直线的方程为，

∵，，

∴，，

所以线段与的比为

∴线段与的比为定值．