Question

【题目】设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线上的点满足．过点作直线垂直于线段交于点．

（ⅰ）证明：恒过定点；

（ⅱ）设线段交于点，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.

【解析】

（1）设，则，根据向量关系坐标化可得，消去可得轨迹的方程；

（2）（ⅰ）设，根据直线垂直，向量的数量积为0可得：，设直线方程为，化简即可得到直线过定点坐标；

（ⅱ）根据直线与圆相交的弦长公式求出，，再根据对角线相乘的半，求得四边形的面积.

（1）设，则

∵，又，，

∴

又，∴，化简得点的轨迹方程为

（2）（ⅰ）设，

∵，∴

又，∴ ①

又直线过点且垂直于线段，故设直线方程为

化简得，又由①式可得，所以恒过定点

（ⅱ）直线为，交圆于两点

则圆心到直线的距离为，

∴弦长，

又直线为，由得，

故，

∴，即四边形的面积