Question

【题目】关于的方程有3个不等实根．

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：方程的3个实根之和大于2．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）方程有3个不等实根等价于方程有3个不等实根，令，利用导数研究函数的单调性及极值，t的范围介于极小值与极大值之间；（2）设的三个根分别为，且，数形结合知，通过构造的新函数的单调性证明，再利用的单调性可得，即可证明3个根之和大于2.

（1）方程有3个不等实根等价于方程有3个不等实根，

考虑函数，，，

当时，为减函数，对于任意的，当时，，这表明当时，的值域为；

当时，为增函数，在上的值域为；

当时，为减函数，设，，

当时，，单调递增，．

可知当时，恒成立，则恒成立，

则对任意，当时，，并且时，．

这表明，当时，的值域为，

为极小值，为极大值．

若与有3个交点，则．

（2）设的三个根分别为，且，易知．

设，．

，

当时，恒成立，单调递减，．

所以，故，

因为当时，单调递减，

所以．