【题目】如图,在平行四边形中,
,
,
为边
的中点,将
沿直线
翻折成
,设
为线段
的中点.则在
翻折过程中,给出如下结论:
①当不在平面
内时,
平面
;
②存在某个位置,使得;
③线段的长是定值;
④当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为
.
其中,所有正确结论的序号是______.(请将所有正确结论的序号都填上)
【答案】①③④
【解析】
①取DC的中点N,连接NM、NB,;MN∥A1D,NB∥DE,所以面MNB∥面A1DE,所以MB∥面A1DE;
②用反证法,假设存在某个位置,使DE⊥A1C,在△CDE中,由勾股定理易知,CE⊥DE,再由线面垂直的判定定理可知,DE⊥面A1CE,所以DE⊥A1E,与已知相矛盾;
③由①可知,可得MN、NB和∠MNB均为定值,在△MNB中,由余弦定理可知,MB2=MN2+NB2﹣2MNNBcos∠MNB,所以线段BM的长是定值;
④当体积最大时,平面平面
,可得
平面
,设外接球球心为
,半径为
,根据球的性质可知
,即可求出半径,计算球的表面积.
①取DC的中点N,连接NM、NB,如图,
则MN∥A1D,NB∥DE,且MN∩NB=N,A1D∩DE=D,所以面MNB∥面A1DE,所以MB∥面A1DE,即①正确;
且MN==定值;NB∥DE,且NB=DE=定值,所以∠MNB=∠A1DE=定值,
②假设存在某个位置,使DE⊥A1C.由AB=2AD=2,∠BAD=60°可求得DE=1,,所以CE2+DE2=CD2,即CE⊥DE,因为A1C∩CE=C,所以DE⊥面A1CE,因为A1E面A1CE,所以DE⊥A1E,与已知相矛盾,即②错误;
③由①可知,MN∥A1D且MN==定值;NB∥DE,且NB=DE=定值,所以∠MNB=∠A1DE=定值,由余弦定理得,MB2=MN2+NB2﹣2MNNBcos∠MNB,所以BM的长为定值,即③正确;
④当平面平面
时,三棱锥
体积最大,此时因为
,
是平面
与平面
的交线,所以
平面
,设正三角形
中心为
,棱锥外接球球心为
,半径为
,则
,设
与
交于
,连接
,
,如图:
易知,
,由题意可知
为边长为1的等边三角形,
,
则有,
,
所以,故球的表面积为
,即④正确.
故答案为:①③④.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】厂家在产品出厂前,需对产品做检验,第一次检测厂家的每件产品合格的概率为,如果合格,则可以出厂;如果不合格,则进行技术处理,处理后进行第二次检测.每件产品的合格率为
,如果合格,则可以出厂,不合格则当废品回收.
求某件产品能出厂的概率;
若该产品的生产成本为
元/件,出厂价格为
元/件,每次检测费为
元/件,技术处理每次
元/件,回收获利
元/件.假如每件产品是否合格相互独立,记
为任意一件产品所获得的利润,求随机变量
的分布列与数学期望.
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【题目】近年来,随着全球石油资源紧张、大气污染日益严重和电池技术的提高,电动汽车已被世界公认为21世纪汽车工业改造和发展的主要方向.为了降低对大气的污染和能源的消耗,某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型和车型
,并在黄金周期间同时投放市场.为了了解这两款车型在黄金周的销售情况,制造商随机调查了5家汽车
店的销量(单位:台),得到下表:
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 |
车型 | 6 | 6 | 13 | 8 | 11 |
车型 | 12 | 9 | 13 | 6 | 4 |
(1)若从甲、乙两家店销售出的电动汽车中分别各自随机抽取1台电动汽车作满意度调查,求抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型
的概率;
(2)现从这5家汽车店中任选3家举行促销活动,用
表示其中车型
销量超过车型
销量的
店的个数,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】如图,已知点是
轴下方(不含
轴)一点,抛物线
上存在不同的两点
、
满足
,
,其中
为常数,且
、
两点均在
上,弦
的中点为
.
(1)若点坐标为
,
时,求弦
所在的直线方程;
(2)在(1)的条件下,如果过点的直线
与抛物线
只有一个交点,过
点的直线
与抛物线
也只有一个交点,求证:若
和
的斜率都存在,则
与
的交点
在直线
上;
(3)若直线交抛物线
于点
,求证:线段
与
的比为定值,并求出该定值.
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【题目】如图,在平行四边形中,
,
,
为边
的中点,将
沿直线
翻折成
,设
为线段
的中点.则在
翻折过程中,给出如下结论:
①当不在平面
内时,
平面
;
②存在某个位置,使得;
③线段的长是定值;
④当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为
.
其中,所有正确结论的序号是______.(请将所有正确结论的序号都填上)
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【题目】椭圆的焦距是
,长轴长是短轴长3倍,任作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点(如图所示),且点
在直线
的左上方.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,求
的面积;
(3)证明:的内切圆的圆心在一条定直线上。
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【题目】已知平面直角坐标系中,曲线
的方程为
,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.若将曲线
上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标伸长到原来的
倍,得曲线
.
(1)写出直线和曲线
的直角坐标方程;
(2)设点, 直线
与曲线
的两个交点分别为
,
,求
的值.
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【题目】某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示
(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润(单位:百万元)与月份代码
之间的关系,求
关于
的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润;
(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有,
两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用
个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对
,
两种型号的新型材料对应的产品各
件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表:
使用寿命 材料类型 |
|
|
|
| 总计 |
如果你是甲公司的负责人,你会选择采购哪款新型材料?
参考数据:,
.参考公式:回归直线方程为
,其中
.
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