Question

对于定义域为l的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆l，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y=f（x）的“好区间”，已知函数P（x）=

(t2+t)x-1

t2x

（t∈R，t≠0）有“好区间[m，n]，则当t变化时，n-m的最大值是”（　　）

• A、

  2 3

  3

• B、

  3

  3

• C、

  1

  2

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用t表示出n-m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．

解答：因为P（x）=

(t2+t)x-1

t2x

=

t+1

t

-

1

t2x

（t∈R，t≠0）在[m，n]上是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
则f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是

t+1

t

-

1

t2x

=x的两个同号的实数根
即方程t²x-（t²+t）x+1=0有两个同号的实数根，注意到mn=

1

t2

＞0
只要△=（t²+t）²-4t²＞0，解得t＞1或t＜-3
所以n-m=

(m+n)2-4mn

=

t2+t t2 - 4 t2

=

- 3 t2 + 2 t +1

=

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

其中t＞1或t＜-3，所以，当t=3时，n-m取最大值

2 3

3

故选：A．

点评：本题主要以新定义为载体，综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解，考查了利用已学知识解决新问题的能力，考查了推理运算的能力，本题综合性较强．