Question

已知曲线C的参数方程为

x=4cosφ y=3sinφ

，（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=

5

2 sin(θ+45°)

．
（Ⅰ）把直线l的极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）设点P是曲线C上的点，求点P到直线l的距离的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由直线l的极坐标方程为ρ=

5

2 sin(θ+45°)

，利用两角和差的正弦公式展开为

2

ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=5，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．
（II）利用点到直线的距离公式和两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）由直线l的极坐标方程为ρ=

5

2 sin(θ+45°)

，化为

2

ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=5，
即ρsinθ+ρcosθ=5，
∴直线l的普通方程为x+y=5．
（II）由点到直线的距离公式可得点P（4cosφ，3sinφ）到直线l的距离：
d=

|4cosφ+3sinφ-5|

2

=

5|sin(φ+α)-1|

2

，
∵-1≤sin（φ+α）≤1，∴0≤d≤5

2

．
∴点P到直线l的距离的取值范围是[0，5

2

]．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、点到直线的距离公式和两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、绝对值的意义，属于中档题．