Question

11．在△ABC中，D是边AC的中点，且$AB=1，cosA=\frac{1}{3}，BD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求AC的值；
（2）求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理列出关系式，将AB，BD的长代入，结合cosA的值解方程即可得到；
（2）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用余弦定理表示出cosA，将AB，AC代入求出BC的长，再由AB，BC，sinA的值，利用正弦定理即可求出sinC的值．

解答 解：（1）解：（1）在△ABD中，AB=1，BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}-B{D}^{2}}{2AB•AD}$=$\frac{1+A{D}^{2}-\frac{4}{3}}{2AD}$=$\frac{1}{3}$，
解得AD=1，即有AC=2；
（2）cosA=$\frac{1}{3}$，且0＜A＜π，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又AC=2，
在△ABC中，cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{1+4-B{C}^{2}}{4}$=$\frac{1}{3}$，
解得：BC=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，
由正弦定理$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AB}{sinC}$得，sinC=$\frac{ABsinA}{BC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{33}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{66}}{33}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．