Question

9．（理）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P₁；设P₁D的中点为D₁，第2次将纸片折叠，使点A与点D₁重合，折痕与AD交于点P₂；设P₂D₁的中点为D₂，第3次将纸片折叠，使点A与点D₂重合，折痕与AD交于点P₃；…；设P_n-1D_n-2的中点为D_n-1，第n次将纸片折叠，使点A与点D_n-1重合，折痕与AD交于点P_n（n＞2），则AP₆的长为（　　）

• A． $\frac{5×3^5}{2^{12}}$
• B． $\frac{3^6}{5×2^9}$
• C． $\frac{5×3^6}{2^{14}}$
• D． $\frac{3^7}{5×2^{11}}$

Answer 1

分析 先写出AD、AD₁、AD₂、AD₃的长度，然后可发现规律推出AD_n的表达式，继而根据AP_n=AD_n即可得出AP_n的表达式，也可得出AP₆的长

解答 解：由题意得AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，AD₁=AD-DD₁=$\frac{5×{3}^{1}}{{2}^{3}}$，
AD₂=$\frac{5×{3}^{2}}{{2}^{5}}$，AD₃=$\frac{5×{3}^{3}}{{2}^{7}}$，…，
AD_n=$\frac{5×{3}^{n}}{{2}^{2n+1}}$，
∴AP_n=$\frac{2}{3}$AD_n=$\frac{5×{3}^{n-1}}{{2}^{2n}}$，
∴AP₆=$\frac{5×{3}^{5}}{{2}^{12}}$，
故选：A．

点评 此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．