Question

已知|F₁F₂|=m，点P到两点F₁、F₂距离之差的绝对值为n（n＜m）．设点P的轨迹为C，过F₁作AB⊥F₁F₂且交曲线C于点A、B，若△ABF₂是直角三角形，则

m

n

的值为（　　）

• A、

  2

  +

  1

  4

• B、

  2

  +1
• C、

  2

  -1
• D、

  2

  -

  1

  4

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意求得点P的轨迹为C的方程，结合△ABF₂是直角三角形列关于m，n的等式，化为关于

m

n

的方程得答案．

解答： 解：∵|F₁F₂|=m，点P到两点F₁、F₂距离之差的绝对值为n（n＜m），
∴P点轨迹为以F₁，F₂为焦点，以n为实轴长的双曲线，
则2a=n，2c=m，
∴a=

n

2

，c=

m

2

，b2=c2-a2=

m2-n2

4

，
不妨设双曲线的焦点在x轴上，
∴点P的轨迹为C为：

x2

n2 4

-

y2

m2-n2 4

=1．
取x=-

m

2

，得

y2

m2-n2 4

=

m2 4

n2 4

-1=

m2-n2

n2

，
∴y2=

(m2-n2)2

4n2

，
∴y=±

m2-n2

2n

，
由△ABF₂是直角三角形，得m=

m2-n2

2n

，
即(

m

n

)2-2

m

n

-1=0，解得：

m

n

=

2

+1或

m

n

=1-

2

（舍）．
故选：B．

点评：本题考查了双曲线方程的求法，考查了双曲线的简单几何性质，考查了学生的计算能力，是中档题．