Question

在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，E为CC₁的中心．求证：EO⊥面A₁DB．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：连接B₁D，A₁B，运用线面垂直的判定定理，证得BD⊥平面ACC₁，则BD⊥AC₁，同理可得A₁D⊥AC₁，再由线面垂直的判定定理，得到AC₁⊥平面A₁BD，再由线面垂直的性质定理，即可证得EO⊥面A₁DB．

解答： 证明：

BD⊥AC BD⊥C1C

⇒BD⊥平面ACC₁⇒BD⊥AC₁

C1D1⊥A1D AD1⊥A1D

⇒A₁D⊥平面AD₁C₁⇒A₁D⊥AC₁
∵BD∩DA₁=D，
∴AC₁⊥平面A₁BD
∵C₁E=CE，OA=OC，
∴OE∥C₁A，
∴EO⊥面A₁DB．
得证．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定和性质及运用，考查空间想象能力和推理能力，属于基本知识的考查．