Question

已知椭圆C：

x2

5

+

y2

4

=1和⊙O：x²+y²=9，过⊙O上一动点P（m，n）引椭圆C的两条不平行于坐标轴的切线PS、PT交⊙O分别为S、T两点，则∠SPT=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设过点P（m，n）切线为y-n=k（x-m），与椭圆的方程联立可得（4+5k²）x²+10k（n-km）x+5（n-km）²-20=0，利用△=0，可得（5-m²）k²+2mnk+4-n²=0，可得k₁k₂=

4-n2

5-m2

．由于1+k₁k₂=0．即可得出．

解答： 解：设过点P（m，n）切线为y-n=k（x-m），n²+m²=9．
联立

y=kx+n-km x2 5 + y2 4 =1

，化为（4+5k²）x²+10k（n-km）x+5（n-km）²-20=0，
∴△=100k²（n-km）²-20（4+5k²）[（n-km）²-4]=0，
化为（5-m²）k²+2mnk+4-n²=0，
∴k₁k₂=

4-n2

5-m2

．
∴1+k₁k₂=1+

4-n2

5-m2

=

9-m2-n2

5-m2

=0．
∴k₁k₂=-1．
∴∠SPT=90°．
故答案为：90°．

点评：本题考查了椭圆的切线性质、直线与椭圆相切转化为方程联立可得△=0及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．