Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB．
（1）证明：PC⊥AB；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB中点O，连结PO，CO，由已知条件推导出AB⊥平面POC，由此能证明PC⊥AB．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答： （1）证明：取AB中点O，连结PO，CO，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
PA=PB=AB．
∴PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩CO=O，
∴AB⊥平面POC，
∵PC∈平面POC，∴PC⊥AB．
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，CO⊥AB，PO⊥AB，
∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设PA=PB=AB=2，则B（1，0，0），P（0，0，

3

），
C（0，

3

，0），D（-2，

3

，0），

PB

=（1，0，-

3

），

PC

=（0，

3

，-

3

），

PD

=（-2，

3

，-

3

），
设平面BPC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PB =x- 3 z=0 n • PC = 3 y- 3 z=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，1，1），
设平面PCD的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • PC = 3 b- 3 c=0 m • PD =-2a+ 3 b- 3 c=0

，取b=1，得

m

=（0，1，1），
设二面角B-PC-D的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

0+1+1

5 × 2

|=

10

5

．
∴二面角B-PC-D的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．